Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Сумма $10$ различных натуральных чисел равна $148$, причем известно, что наименьшее из этих чисел составляет не менее половины от наибольшего из них. Найдите эти числа, в ответе запишите $5$ наибольших из этих чисел, упорядоченные по возрастанию, без пробелов. Т. е., например, если это числа $14$, $2$, $58$, $3$ и $6$, то в ответе следует указать $2361458$.

Доля отличников в классе составляет менее одной трети, но более $20\%$, причем известно, что оно кратно $5$. А доля хорошистов составляет менее $20\%$, но более $2/11$ учащихся. Для школьников, которые не являются хорошистами и отличниками организованы дополнительные занятия. Сколько человек должны посещать эти занятия, если известно, что в классе учится не более $20$ школьников?

Подряд выписали квадраты чисел от $1$ до некоторого натурального числа $N$: $1491625\ldots N^2$, так, что получилось $1428$-значное число. Найдите $N$.

Парабола проходит через точки с координатами $(2019;2020)$, $(2020;0)$ и $(2021;2020)$. Найдите квадратный трехчлен $P(x)=ax^2+bx+c$, графиком которого она является. В ответе укажите ординату точки пересечения параболы с осью ординат.

Поле для игры «7 кругов» представляет собой правильный треугольник и $7$ одинаковых кружочков с центрами в вершинах, серединах сторон и центре треугольника. Сколько существует различных способов расставить черные и белые фишки, по одной в каждый кружок? Расстановки, которые переходят друг в друга при повороте, считаются одинаковыми.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2=y+z,\\ y^2=z+x,\\ z^2=x+y \end{cases} \] при условии $x,y,z\gt 0$. В ответе укажите: если решений нет, то $0$, если решение одно — произведение $xyz$, если решений несколько — сумму произведений $xyz$ для каждого решения.

В равносторонний треугольник $ABC$ вписан равносторонний треугольник $DEF$ (см. рис.). Треугольники $AGD$ и $BFH$ — прямоугольные, катеты $GD$ и $FH$ параллельны прямой $AB$. Площадь треугольника $AGD$ равна $9$, а треугольника $BFH$ — $1$. Найдите площадь треугольника $DEF$.