Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В возрастающей арифметической прогрессии $\{b_i\}$ дано $b_1=1$, $b_{b_2}=10$. Найдите $b_n$ с номером $n=b_{b_3}$.

Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, один из которых равен 16. Найдите длину второго отрезка, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5.

Найдите наименьший положительный корень уравнения \[ \sin\left(x^2-2{,}57\right)=\cos(\pi x). \]

Сумма длин двух ребер прямоугольного параллелепипеда равна 2020, а произведение равно длине третьего ребра. Найдите диагональ этого параллелепипеда, если известно, что она на 1 длиннее третьего ребра.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ x^2+a|x-a|=8x-15 \] имеет решение. Для каждого из найденных $a$ укажите число решений.