Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В ролевой игре «Worlds of MSU» имеются три класса: воин, маг, целитель. Каждый игрок может управлять персонажем некоторого класса (одиночный класс) или персонажем, совмещающим способности двух классов (двойной класс), например, маг-целитель. Партия из 32 игроков штурмует «Цитадель зла». Известно, что целителей (т. е. всех, имеющих способности целителей) в два раза больше магов и в $k$ раз меньше, чем воинов ($k$ — целое число, большее двух). Сколько игроков имеют одиночный класс, если известно, что игроков, имеющих двойной класс, на 2 больше, чем целителей?

В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC$, $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если известно, что $BH=h$.

Будем обозначать $\max(A,B,C)$ наибольшее из чисел $A$, $B$, $C$. Найдите наименьшее значение величины \[ \max\left(x^2+|y|,\ (x+2)^2+|y|,\ x^2+|y-1|\right). \]

Число $2015$ можно представить в виде суммы последовательных целых чисел различным образом, например $2015=1007+1008$ или $2015=401+402+403+404+405$. Сколькими способами это можно сделать?

Известно, что при некоторых натуральных $a$, $b$ число $N=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1}$ — тоже натуральное. Найдите все возможные значения $N$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$, к которой проведена касательная, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если $\angle MON=26^\circ$.

Найдите наименьшее значение функции \[ f(x,y)=\frac{2015(x+y)}{\sqrt{2015x^2+2015y^2}} \] и укажите все пары $(x,y)$, при которых оно достигается.

Даны $2015$ попарно взаимно простых натуральных чисел, не превосходящих $10^7$. Могут ли они все быть составными?

Даны треугольники $ABC$ и $A'B'C'$, площади которых равны $1$ и $2025$ соответственно. Известно, что лучи $AB$ и $A'B'$ параллельны и идут в противоположных направлениях (см. рисунок). То же верно и для пар $BC$ и $B'C'$, $CA$ и $C'A'$. Точки $A''$, $B''$ и $C''$ — середины отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Найдите площадь треугольника $A''B''C''$.

Найдите функцию $f(x)$, о которой известно, что \[ f(x)=\begin{cases} x\cdot f\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)+3 & \text{при } x\neq2,\\ 0 & \text{при } x=2. \end{cases} \]