Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Петины часы спешат на 5 минут в час, а Машины — отстают на 8 минут в час. В 12:00 они поставили свои часы по школьным часам (которые идут точно) и договорились в полседьмого пойти вместе на каток. Сколько времени Петя будет ждать Машу, если каждый приходит на каток ровно в 18:30 по своим часам?

На международный чемпионат по настольному теннису съехалось 200 участников. Игра идёт на выбывание, т. е. в каждом матче участвует два игрока, проигравший выбывает из участия в чемпионате, а выигравший — остаётся. Найдите наибольшее возможное количество участников, которые выиграли не менее трёх партий.

Назовем число изумительным, если оно имеет ровно 3 различных нечётных натуральных делителя (и произвольное количество чётных). Сколько существует изумительных двузначных чисел?

На клетчатой бумаге нарисовали ступенчатый прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 клеткам. Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество прямоугольников можно найти на этом рисунке?

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$ известен угол $LMN$, равный $60^\circ$. Около треугольника $KLN$ описана окружность, касающаяся прямых $LM$ и $MN$. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр треугольника $KLN$ равен 12.

Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{\text{МГУ}}$, состоящие из различных цифр М, Г и У, для которых выполняется равенство \[ \overline{\text{МГУ}}=(\text{М}+\text{Г}+\text{У})(\text{М}+\text{Г}+\text{У}-2). \]

На уроке рисования учитель сложил из нескольких одинаковых кубиков фигуру, а Петров и Васечкин нарисовали её с двух различных точек зрения (см. рисунок). Из скольких кубиков могла состоять эта фигура? (В ответе укажите произведение наибольшего и наименьшего возможного значения.)

Пусть $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2-x-4=0$. Найдите $\left(x_1^5-20x_1\right)\left(x_2^4+16\right)$.