Олимпиада «Росатом»

Петя и Вова хотят переправиться на другой берег реки шириной $200$ (м). У них есть маленькая резиновая лодка, в которой может плыть только один человек со скоростью $40$ (м/мин). Начали переправу одновременно: Петя на лодке, Вова — вплавь. В какой-то момент времени Петя покинул лодку и поплыл дальше самостоятельно, а Вова, догнав лодку, завершил переправу на ней. Петя плавает со скоростью $20$, Вова — $30$ (м/мин). Какое расстояние должен проплыть на лодке Петя, чтобы время совместной переправы оказалось минимальным? (Время перехода в лодку и течение реки не учитывать.)

Решить неравенство: \[ \sin(\sin2x+\cos2x-1)\geqslant\sin x(\sin x-\cos x). \]

Сократимая обыкновенная дробь $\dfrac{p}{q}$ при прибавлении к числителю и знаменателю $7$ возросла в три раза. Найти $p$ и $q$, если известно, что $\text{НОД}(p,q)=2$.

При каком натуральном $n$ дробь \[ a_n=\dfrac{1}{n+\dfrac{2019}{n+\frac1n}} \] принимает наибольшее возможное значение?

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Угол $DOC$ равен $58^\circ$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что точки $D$, $O$, $E$ и $C$ лежат на одной окружности.