Олимпиада «Росатом»

Рациональные числа $x$ и $y$ таковы, что их логарифмы $\log_{\sqrt{2}}x$ и $\log_{\sqrt[3]{3}}y$ также рациональны и их сумма равна 73. Найти $x$ и $y$.

Найти номера $n\geqslant 1$ членов арифметической прогрессии $a_n=\frac{5n+2}{3}$, являющихся решениями уравнения $\sqrt{10}\cos(\pi a_n)=\sqrt{4\cos(\pi a_n)-\cos(2\pi a_n)}$.

Целые положительные шестизначные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что если к сумме цифр числа $a_1$ прибавить сумму цифр числа $a_2$, то получится 36. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a_1\cdot a_2$.

Игральная кость имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с двугранным углом $60^\circ$ при основании. На боковых гранях пирамиды нарисованы цифры от 1 до 4, на основании — 5. Вероятность того, что при бросании кость ляжет на плоскость, закрывая определенную цифру, пропорциональна площади грани или основания с этой цифрой. Найти вероятность того, что сумма цифр, закрытых костью при трех бросаниях, равна 13.

При каких целых положительных $n$ уравнение $\sin x\cdot\sin 2x\cdot\sin 3x\cdot\ldots\cdot\sin nx=0$ имеет не менее десяти решений на отрезке $[0;\pi/4]$?

На боковых ребрах $EA$, $EB$, $EC$ правильной четырехугольной пирамиды $ABCDE$ расположены точки $M$, $N$, $K$ соответственно, причем $EM:EA=1:2$, $EN:EB=2:3$, $EK:EC=1:3$. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки $M$, $N$, $K$?