Олимпиада «Росатом»

Петя пришел на остановку автобуса, едущего до школы с остановками равноотстоящими друг от друга, и, не увидев автобуса на дороге, решил пробежаться и сесть в автобус на следующих остановках по пути в школу. Бежал Петя так, что в любой момент времени мог заметить появление автобуса на дороге за своей спиной. Увидев автобус, Петя может повернуть назад или сохранить направление движения. Известно, что скорость движения автобуса в $4$ раза превосходит скорость бега Пети, а увидеть автобус он может на расстоянии не более $1$ км. Найти наибольшее значение расстояния между остановками, при котором независимо от того, повернет Петя назад при обнаружении автобуса или нет, он сможет сесть в автобус на остановке. (Время нахождения автобуса на остановке не учитывать.)

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате $\{(x;y)\colon 0\leqslant x\leqslant2\pi,\ 0\leqslant y\leqslant2\pi\}$ удовлетворяют системе уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sin y=\sin1,\\ \cos x+\cos y=\cos1. \end{cases} \] Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L$. Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L$, длина одного прыжка $h$, направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A$.

Длины ребер $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b_1$, $b_2$, $b_3$ прямоугольных параллелепипедов $P_A$ и $P_B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P_A$ увеличить на $1$ длину одного из ребер $a_1$, $a_2$ или $a_3$, то отношение объемов $V_A:V_B$ изменится на $3$, $5$ или на $7$ единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношения объемов $V_A:V_B$.

Можно ли множество из $2017$ чисел $\{\log_25,\log_26,\log_27,\ldots,\log_22021\}$ разбить на две части так, чтобы сумма чисел, попавших в одну из этих частей, отличалась от суммы чисел в другой не более, чем на $1$ (по абсолютному значению)?

По диагоналям оснований $AC$ и $B_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ ползут два муравья Гоша и Леша. Движение они начали одновременно из точек $A$ и $B_1$ соответственно с постоянной скоростью, причем скорость Леши была в два раза больше скорости передвижения Гоши, и закончили, когда Леша оказался в точке $D_1$. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лешу во время движения?