Олимпиада «Шаг в будущее»

Найдите натуральное число, которое имеет десять натуральных делителей (включая единицу и само число), два из которых простые, а сумма всех его натуральных делителей равна $186$.

Решите неравенство $\cos x-\sqrt{\sin y}-\sqrt{\sin y-\sin^2x}\geqslant1$.

Найдите множество значений функции $y=f^{[2019]}(x)$, где \[ f(x)=\log_2\dfrac{\cos2x+2\sin^2x}{1-\sin3x}, \] $f^{[n]}(x)=\underbrace{f(f(f(\ldots(f}_{n\text{ раз}}(x)\ldots)$ для любого натурального числа $n$.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, сторона $AC$ равна $\sqrt2$. Описанная около треугольника $ABD$ окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$. Найдите площадь треугольника $ACD$, если $R_1:R_2=\sqrt3$, где $R_1$, $R_2$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \sqrt[3]{6a\sin x+4a^2-6a}-\sqrt[3]{\cos2x+8\sin x+9}=\cos2x+(8-6a)\sin x-4a^2+6a+9 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.

Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра $TA$ и стороны основания $BC$ и параллельной апофеме $TF$ боковой грани $ATB$, если радиус сферы равен $3$.