Всероссийская олимпиада школьников по математике

Действительные числа $a_1, a_2, \ldots, a_{90}$ образуют арифметическую прогрессию. Чему равно \[a_2+a_5+a_8+\ldots+a_{89},\] если $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{90}=3000$?

Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:

• в его десятичной записи все цифры ненулевые;
• сумма его цифр равна 32;
• любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр.

Найдите наименьшее хорошее число.

Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.

Приведённые квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ таковы, что каждое из чисел \[0,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12\] является корнем одного из трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$, $P(x)+Q(x)$. Чему равно $P(0)+Q(0)$?
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.

На городском проспекте через равные расстояния расположены 11 зданий: склады с напитками, курьерская компания, и 5 офисов. Расстояние между каждыми соседними зданиями равно 1 км.
Вчера утром поступило пять одинаковых заказов из офисов. В каждый офис нужно было привезти пять ящиков бутылок: с молоком, с кефиром, с квасом, с соком и с минеральной водой. Автомобиль курьера Василия может одновременно везти только один ящик. Вчера он выехал из здания курьерской компании и развозил напитки в офисы, пока не выполнил все заказы, а затем вернулся в точку старта.
1. За доставку каждого ящика Василий получает 100 рублей. Сколько рублей Василий заработал за вчерашний день?
2. На каждый километр пути автомобиль Василия тратит бензина на 5 рублей. Какую минимальную сумму Василий мог потратить на бензин за вчерашний день?

Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).

Школьный актовый зал представляет из себя квадрат $11\times 11$. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 — неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?

Функция $f(x)$ определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального $n$ выполнено \[f(n+1)\gt f(n)\quad\text{и}\quad f\bigl(f(n)\bigr)=3n.\]
1. Найдите $f(10)$.
2. Найдите $f(2024)$.