Всероссийская олимпиада школьников по математике

Разрежьте правильный пятиугольник на пять равных треугольников и один правильный пятиугольник меньшего размера.

Вычислите: \[ \left(\dfrac{1+2}{3}+\dfrac{4+5}{6}+\dfrac{7+8}{9}+\ldots+\dfrac{2017+2018}{2019}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{673}\right). \]

Числа от 1 до 50 написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в 11 мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на 9?

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. На меньшей дуге $CD$ окружности $\omega$ выбрана произвольная точка $M$. Внутри квадрата отмечены такие точки $K$ и $L$, что $KLMD$ — квадрат. Найдите $\angle AKD$.

Дано положительное число $a$. Известно, что уравнение $x^3+1=ax$ имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение $x^3+1=ax^2$ также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.

Пятачок и Винни-Пух решили съесть квадратную шоколадку $7\times7$. Они поочерёдно по клеточкам выедают из неё кусочки: Пятачок — $1\times1$, Винни-Пух — $2\times1$ или $1\times2$ (кусочки можно выедать не обязательно с краю). Первый ход делает Пятачок. Если перед ходом Винни-Пуха в шоколадке не осталось ни одного кусочка $2\times1$ или $1\times2$, то вся оставшаяся шоколадка достаётся Пятачку. Кто из друзей сможет съесть больше половины всей шоколадки вне зависимости от действий второго?