Всероссийская олимпиада школьников по математике

Есть три брата-акробата. Их средний рост — 1 метр 74 сантиметра. А средний рост двух из этих братьев: самого высокого и самого низкого — 1 метр 75 сантиметров. Какого роста средний брат? Ответ обоснуйте.

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) равен основанию $AC$. На основании $AC$ построен квадрат $AKLC$ так, что отрезок $KL$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $BKL$ равносторонний.

Назовём трёхзначное число интересным, если хотя бы одна его цифра делится на 3. Какое наибольшее количество подряд идущих интересных чисел может быть? (Приведите пример и докажите, что больше чисел получить нельзя.)

Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами \[2018x^2+ax+b=0\] — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на $2018^2$.

Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что \[\text{НОК}(a,b)=\text{НОД}(a,b)+19\] (и докажите, что других нет).
$\text{НОД}(a,b)$ — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$. $\text{НОК}(a,b)$ — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.

В стране 100 городов. Между любыми двумя городами либо нет соединения, либо налажено авиасообщение, либо есть железная дорога (одновременно и авиасообщения, и железной дороги быть не может). Известно, что если два города соединены с третьим железной дорогой, то между ними есть авиалиния, а если два города соединены с третьим авиалиниями, то между ними есть железная дорога. Из-за стихийного бедствия отменили все авиарейсы в стране. Правительство постановило в некоторых городах разместить центры гуманитарной помощи, причём так, чтобы из каждого города можно было добраться в подобный центр. Докажите, что необходимо открыть хотя бы 20 таких центров.