Всероссийская олимпиада школьников по математике

Двое рабочих за два часа вырыли траншею. При этом первый рабочий устал и начал работать втрое медленней, а второй рабочий раззадорился и начал работать втрое быстрее, так что на прокладку второй такой траншеи у них ушёл один час. Во сколько раз производительность второго превосходила производительность первого изначально?

В прямоугольном треугольнике один катет в два раза больше другого. Разрежьте его на 5 равных треугольников.

Над девятизначным числом разрешается производить следующее действие: любую цифру числа можно заменить на последнюю цифру суммы цифр этого числа. Можно ли с помощью таких действий из числа 133355555 получить число 123456789?

Квадрат $6\times6$ разрезали на четырёхклеточные и пятиклеточные фигуры, равные показанным на рисунке (обе фигуры участвуют в разрезании). Сколько каких фигур было использовано?

Внутри квадрата $ABCD$ отмечены точки $K$ и $M$ (точка $M$ находится внутри треугольника $ABD$, точка $K$ — внутри $BMC$) так, что треугольники $BAM$ и $DKM$ равны ($AM=KM$, $BM=MD$, $AB=KD$). Найдите $\angle KCM$, если $\angle AMB=100^\circ$.

Даны квадратные трёхчлены $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ и $x^2+ex+f$. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх: \[ \begin{gathered} \dfrac{a^2+c^2-e^2}{4}\gt b+d-f,\\ \dfrac{c^2+e^2-a^2}{4}\gt d+f-b,\\ \dfrac{e^2+a^2-c^2}{4}\gt f+b-d. \end{gathered} \]