Всероссийская олимпиада школьников по математике

Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны $a$, $b$ и $c$.
Выберите верное утверждение:
a) $c\gt b=a$,
b) $b=c\gt a$,
c) $a=b=c$,
d) $a\lt b\lt c$.

Действительные числа $x$ и $y$ таковы, что \[\frac{9x}{y}=xy=2x+4y.\] Какое наибольшее значение может принимать $x$?

На чертеже четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$. Прямая, проходящая через точку $D$, параллельно $AB$, пересекает $\omega$ в точке $P$. Известно, что $\angle PDC=12^\circ$, $\angle DPB=56^\circ$. Найдите величину угла $\angle ABC$. Ответ дайте в градусах.

Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[\text{НОД}(a,b)=2\quad\text{и}\quad\text{НОД}(b,c)=4.\] Чему может быть равен НОД$(a,c)$? Выберите все верные ответы:
a) 12;
b) 3;
c) 6;
d) 1;
e) 2.

У Жоры есть коробка конфет, в которой конфеты расположены прямоугольником $4\times5$ (4 строчки, 5 столбцов). Жора берёт по одной конфете, каждый раз выбирая из строки, в которой осталось максимальное количество конфет; если таких несколько — из любой из них. Сколькими способами Жора мог съесть первые 5 конфет; порядок поедания важен?

Прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть $X$ и $Y$ — проекции точек $B$ и $C$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если $AB=20$, $AC=21$.

В стране 3 мегаполиса и 7 городков. Авиакомпания планирует расписание полётов между ними. Руководитель хочет, чтобы выполнялись следующие условия:

• от любого населённого пункта до любого другого можно добраться (прямым рейсом или с пересадками);
• если из пункта $A$ есть рейс в пункт $B$, то и из пункта $B$ есть рейс в пункт $A$;
• из двух мегаполисов можно улететь ровно в четыре населённых пункта, а из одного — в три;
• из каждого городка можно улететь ровно в один населённый пункт.

Сколько существует способов организовать такое расписание?

Числа $a_1, a_2, \ldots, a_9$ таковы, что \[\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_9^2}{a_1+a_2+\ldots+a_9}=48.\] Какое наибольшее значение может принимать $a_1$?