Всероссийская олимпиада школьников по математике

Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.

У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает 100 чисел, а когда в стопке остаётся одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее всё то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т. д. Докажите, что среди выписанных на доске 10000 чисел найдутся два одинаковых.

Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a\geqslant 2b$. Существует ли многочлен $P(x)$ степени больше 0 с коэффициентами из множества $\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ такой, что $P(a)$ делится на $P(b)$?

С одной стороны теннисного стола выстроилась очередь из $n$ девочек, а с другой — из $n$ мальчиков. И девочки, и мальчики пронумерованы числами от 1 до $n$ в том порядке, как они стоят. Первую партию играют девочка и мальчик с номерами 1, а далее после каждой партии проигравший встаёт в конец своей очереди, а победивший играет со следующим. Через некоторое время оказалось, что каждая девочка сыграла ровно одну партию с каждым мальчиком. Докажите, что если $n$ нечётно, то в последней партии играли девочка и мальчик с нечётными номерами.

Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого произведение чисел $n$, $n+1$, $n+2$, …, $n+20$ делится на квадрат какого-то одного из них.

Квадрат $100\times100$ разбит на квадраты $2\times2$. Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники $1\times2$ и $2\times1$). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения?

Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой.

Дано число $a\in(0,1)$. Положительные числа $x_0$, $x_1$, …, $x_n$ удовлетворяют условиям \[x_0+x_1+\ldots+x_n=n+a\] и \[\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}=n+\frac{1}{a}.\] Найдите наименьшее значение выражения $x_0^2+x_1^2+\ldots+x_n^2$.