Всероссийская олимпиада школьников по математике

Существует ли такое натуральное число $n$, большее 1, что значение выражения $\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n}}}$ является натуральным числом?

Существуют ли такие целые числа $p$ и $q$, что при любых целых значениях $x$ выражение $x^2+px+q$ кратно 3?

В квадрате $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $G$. Что больше: площадь треугольника $AGF$ или площадь четырёхугольника $GECF$?

Решите неравенство \[\sin\frac{x}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{x}\cos\frac{x}{x^2+1}\gt 0.\]

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

Каждая клетка таблицы размером $7\times8$ (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?