Всероссийская олимпиада школьников по математике

Во время распродажи Пётр купил брюки с 40%-ной скидкой и рубашку с 20%-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр? Ответ обоснуйте.

Приведите пример числа $x$, для которого выполняется равенство \[\sin2017x-\operatorname{tg}2016x=\cos2015x.\] Ответ обоснуйте.

Рубик сделал развёртку куба размером $3\times3\times3$ и отметил на ней две точки (см. рисунок). Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?

Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади $S$ проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

Если на доске записано число $A$, то к нему можно прибавить любой его делитель, отличный от 1 и самого $A$. Можно ли из $A=4$ получить 1234321?