Всероссийская олимпиада школьников по математике

Графики трёх функций $y=ax+a$, $y=bx+b$ и $y=cx+d$ имеют общую точку, причём $a\neq b$. Обязательно ли $c=d$? Ответ обоснуйте.

Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Её разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат $6\times6$. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.)

Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили отрезками с серединами сторон $BC$ и $CD$. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол $BAD$: острым, прямым или тупым.

Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$, $AB=2BC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает $AC$ в точке $D$. Найдите отношение $AD:DC$.

Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать «за», «против» или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу «Блестит ли золото?» все гномы проголосовали «за», а по вопросу «Страшен ли Дракон?» Торин воздержался. Сколько могло быть гномов? (Опишите все возможности и докажите, что других нет.)