Всероссийская олимпиада школьников по математике

Можно ли расставить натуральные числа в клетки таблицы размером $7\times7$ так, чтобы в любом квадрате $2\times2$ и любом квадрате $3\times3$ сумма чисел была нечетна?

Часть графика линейной функции, расположенная во второй координатной четверти, вместе с осями координат образует треугольник. Во сколько раз изменится его площадь, если угловой коэффициент функции в два раза увеличить, а свободный член в два раза уменьшить?

Высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит биссектрису $BL$ этого треугольника пополам. Найдите угол $BAC$.

На острове Лжецов и Рыцарей расстановку по кругу называют правильной, если каждый, стоящий в кругу, может сказать, что среди двух его соседей есть представитель его племени. Однажды 2019 аборигенов образовали правильную расстановку по кругу. К ним подошел лжец и сказал: «Теперь мы вместе тоже можем образовать правильную расстановку по кругу». Сколько рыцарей могло быть в исходной расстановке?

У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение $N$.

Внутри острого угла расположен выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Оказалось, что для каждой из двух прямых, содержащих стороны угла, выполняется условие: сумма расстояний от вершин $A$ и $C$ до этой прямой равна сумме расстояний от вершин $B$ и $D$ до этой же прямой. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.