Всероссийская олимпиада школьников по математике

В числовом выражении некоторые цифры заменили буквами (разные цифры — разными буквами, одинаковые цифры — одинаковыми буквами). Получилось следующее: \[\mathtt{2018A}:\mathtt{BCD}=\mathtt{AA}.\] Какое числовое выражение было записано изначально? (Достаточно привести пример. $\mathtt{2018A}$ изначально было пятизначным числом.)

В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?

Карина достала из коробка несколько спичек и собрала из них сетку $3\times7$ из квадратиков со стороной в одну спичку, как на рисунке ниже.
Какое минимальное количество спичек ей нужно ещё достать из коробка, чтобы из всех спичек она смогла собрать сетку в форме квадрата? (Квадратики сетки опять должны иметь сторону в одну спичку. Лишних спичек остаться не должно.)

На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школьниками. Известно, что

• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;
• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;
• всего в первом ряду сидят 9 девочек.

Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответ обоснуйте.)

По определению $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$. Докажите, что выражение $1008!\cdot1009!\cdot2017!\cdot2018!$ не является квадратом натурального числа.

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAC=\angle BDA$ и $\angle BAD=\angle ADC=60^\circ$. Найдите длину $AD$, если известно, что $AB=14$, $CD=6$.