Всероссийская олимпиада школьников по математике

Для натурального числа $a$ произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot a$ обозначается как $a!$.
1. Найдите наименьшее натуральное число $m$ такое, что $m!$ делится на $23m$.
2. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $n!$ делится на $33n$.

В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было).
Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?»
Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего класса, включая тебя?»
Среди ответов встретились числа 7, 9, 10, 12, 15, 16, 19 и 21 (все дети ответили верно).

• Сколько детей учится в самом большом классе параллели?
• Сколько девочек пришло на собрание параллели?

Точка $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $X$. Оказалось, что $AI=BX$, $AC=CX$, $\angle ABC=42^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $BIX$?
2. Сколько градусов составляет угол $BCA$?

Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью.

• В 12:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
• Ерёма ответил: «82».
• В 13:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
• Ерёма ответил: «71».
• В 15:00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?»
• Ерёма ответил: «46».

Известно, что Ерёма каждый раз округлял расстояние до ближайшего целого, а если таких было два — то до любого на свой выбор.
В 16:00 Фома снова спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» В этот раз Ерёма уже дал точный ответ, не округляя его. Что ответил Ерёма?

Про действительные ненулевые числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[a^2-bc=b^2-ac=c^2-ab.\]
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.

Дан треугольник $ABC$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $\ell$ — биссектриса внешнего угла $A$ треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $\ell$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если $AB=23$ и $AC=8$.

На доску выписаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза?

На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков.
Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться?
Вершинами ломаной могут быть только отмеченные точки, а звеньями — только проведённые отрезки. Неважно, где у ломаной начало и как она ориентирована: например, если для некоторых 4 отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $D$ проведены отрезки $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, то $ABCD$, $BCDA$, $CDAB$, $DABC$, $ADCB$, $BADC$, $CBAD$, $DCBA$ — это одна и та же ломаная.