Всероссийская олимпиада школьников по математике

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

Существует ли треугольник, для сторон $x$, $y$, $z$ которого выполнено соотношение \[ x^3+y^3+z^3=(x+y)(y+z)(z+x)\,? \]

Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ касается $\omega$. Окружность $\Omega_b$ с центром $P$ проходит через вершину $B$, а окружность $\Omega_c$ с центром $Q$ — через $C$. Докажите, что окружности $\Omega$, $\Omega_b$ и $\Omega_c$ имеют общую точку.

Олег нарисовал пустую таблицу $50\times50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица сложения»). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Перпендикуляр, восстановленный в точке $M$ к прямой $AM$, пересекает луч $HB$ в точке $K$. Докажите, что если $\angle MAC=30^\circ$, то $AK=BC$.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным $2^{10000}$. Докажите, что число, кратное $2^{10000}$, было на одной из карточек уже через день после начала.