Всероссийская олимпиада школьников по математике

У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?

На координатной плоскости нарисована парабола $y=x^2$. Для данного числа $k\gt 0$ рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно $k$. Докажите, что диагонали всех таких трапеций проходят через одну точку.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды $A$ и $B$, причем в $A$ жителей было больше, чем в $B$. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший игрок навсегда выходил из игры, и его заменял другой (еще не игравший) член его команды. Проиграла команда, все члены которой вышли из игры. После турнира каждого члена команды $A$ спросили:
«Правда ли, что в какой-то игре ты проиграл лжецу?»,
а каждого члена команды $B$ спросили:
«Правда ли, что ты выиграл хотя бы у двух рыцарей?».
Все ответы оказались утвердительными. Какая команда победила — $A$ или $B$?

В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$). На продолжениях боковых сторон $AB$ и $BC$ за точку $B$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, а на основании $AC$ отмечена точка $F$, причем $AC=DE$ и $\angle CFE=\angle DEF$. Докажите, что $\angle ABC=2\angle DFE$.

На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.

На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из нее в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча?

На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $BP=PQ=QC$. Точки $X$ и $Y$ выбраны соответственно на отрезках $AC$ и $AB$ так, что $PX\perp AC$ и $QY\perp AB$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ равноудалена от прямых $XQ$ и $YP$.

Правильный треугольник $T$ со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника $T$, отмечены. Назовем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)

Существует ли натуральное число $n\gt 10^{100}$ такое, что десятичные записи чисел \[ n^2\quad\text{и}\quad(n+1)^2 \] отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел $n^2$ и $(n+1)^2$ должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, …, поровну цифр 9.)