Окружность

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ — прямой, $AC:AB=4:5$. Окружность с центром на катете $AC$ касается гипотенузы $AB$ и пересекает катет $BC$ в точке $P$, причём $BP:PC=2:3$. Найдите отношение радиуса окружности к катету $BC$.

Центр окружности, касающейся стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $B$ и проходящей через точку $A$, лежит на отрезке $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $BC=6$ и $AC=9$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AC=4$, $AB=BC=6$. Биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена окружность, касающаяся стороны $AC$ в её середине и пересекающая отрезок $AD$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $DEC$.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $4\sqrt3$ и острым углом $30^{\circ}$ на большем катете как на диаметре построена окружность. Найти площадь части круга, отсекаемой гипотенузой и расположенной вне треугольника.

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $4\sqrt3$ и острым углом $30^{\circ}$ на меньшем катете как на диаметре построена окружность. Найти площадь части круга, расположенной внутри треугольника.

Площадь кругового сектора равна $6\pi$, а длина дуги — $2\pi$. Найти длину окружности, вписанной в этот сектор.

Радиус окружности, вписанной в круговой сектор, в 3 раза меньше радиуса сектора. Найти длину окружности, вписанной в сектор, если площадь сектора равна $24\pi$.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если внешний угол меньше внутреннего в 11 раз?

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внутренний угол относится к внешнему как 13:2?

В окружность вписаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $6\sqrt6$. Найти периметр квадрата.

Около окружности описаны равносторонний треугольник и квадрат. Периметр треугольника равен $9\sqrt3$. Найти периметр квадрата.

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=15$, $BC=12$, $AC=18$. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису, проведённую из вершины $C$?

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, основание равно 24. Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

В параллелограмме $PQRS$ биссектриса угла при вершине $P$, равного $80^{\circ}$, пересекает сторону $RS$ в точке $L$. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка $PQ$ и лучей $QR$ и $PL$, если известно, что $PQ=7$.

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно в точках $K$, $M$ и $N$. Найдите угол $KMN$, если $\angle A=70^{\circ}$.

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство $$r=\frac{a\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$$ где $r$ — радиус вписанной окружности, $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника $ABC$, $a=BC$.

В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$, равным $60^{\circ}$, проведена биссектриса угла $B$, пересекающая сторону $CD$ в точке $E$. В треугольник $ECB$ вписана окружность радиуса $R$. Другая окружность вписана в трапецию $ABED$. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании $BC$, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Сторона квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник, как $8:5$. Найдите углы треугольника.

Сторона $AB$ прямоугольника $ABCD$ равна 12, а сторона стороны $AD$ равна 5. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $E$. Найдите отношение расстояния от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $AED$, к расстоянию от точки $E$ до центра окружности, вписанной в треугольник $DEC$.