Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $a=17$, $b=10$ и $c=9$.
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Ответ:
Решение:
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $a=20$, $b=15$ и $c=7$.
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Указание. Радиус вписанной окружности равен $\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}$, где площадь $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона).
Ответ:
Решение:
Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $\angle AOC=60^{\circ}$. Найдите угол $AMC$, где $M$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении $12:5$, а боковая сторона равна 60. Найдите основание.
Ответ:
Решение:
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ:
Решение:
Две окружности радиусов $R$ и $r$ пересекаются в точках $A$ и $B$ и касаются прямой в точках $C$ и $D$; $N$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ($B$ между $A$ и $N$). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
Ответ:
Решение:
Прямые, проходящие через точку $O$, расположенную вне окружности, касаются окружности в точках $P$ и $Q$; $A$, $B$ и $C$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$, лежащей на окружности, на прямые $OP$, $OQ$ и $PQ$ соответственно.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.
а) Докажите, что $\angle CBM=\angle APM$.
б) Найдите $AM$, если $MC=4$ и $MB=8$.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$.
а) Докажите, что $KM\parallel BC$.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен 10, а $BC=16$
а) Докажите, что $KM\parallel BC$.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен 10, а $BC=16$
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=1:3$, а радиус меньшей окружности равен $3\sqrt{2}$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=1:3$, а радиус меньшей окружности равен $3\sqrt{2}$.
Ответ:
Решение:
Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания один из катетов на отрезки длины $6$ и $7$. Найдите длину гипотенузы.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны $30$ и $15$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его стороны $BC$ в точке $D$. Пусть $E$ — середина $BC$, а точка $F$ взята на стороне $AC$ так, что $BF\perp AI$. Найдите длину отрезка $CF$, если $AB=20$, $BC=16$, $DE=2$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ пересекаются в точке $P$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает катеты $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Прямые $KP$ и $MP$ пересекают гипотенузу в точках $E$ и $T$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $KBMP$, если $PT=3$, $EP=4$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $ABH$ и $BCH$ соответственно, а $\sqrt{6}$ и $\sqrt{24}$ — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $HPQ$.
Ответ:
Решение: