Стереометрия

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+5}{-8}=y-3=\frac{z-4}{3}$ и $\displaystyle\frac{x-2}{-2}=y-5=\frac{z-3}{0}$.

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-2}{-1}$ и $\displaystyle\frac{x-5}{2}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z-5}{0}$.

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x+3}{-4}=\frac{y-1}{-1}=z-4$ и $\displaystyle\frac{x+2}{-4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-10}{-1}$.

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми $\displaystyle\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-5}{4}$ и $\displaystyle\frac{x-3}{-4}=y-7=\frac{z-9}{6}$.

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-5,~3,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-4}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~2,~2)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-5}{2}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(-3,~1,~4)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-2}{1}=\frac{y-6}{4}=\frac{z-11}{8}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.

Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки $M(2,~1,~5)$ на прямую $\displaystyle\ell:~\frac{x-7}{2}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-3}{1}$. Найти расстояние от точки $M$ до прямой $\ell$.

На диагоналях $D_{1}A$, $A_{1}B$, $B_{1}C$, $C_{1}D$ граней куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ взяты соответственно точки $M$, $N$, $P$, $Q$, причём $$ D_{1}M:D_{1}A=BN:BA_{1}=B_{1}P:B_{1}C=DQ:DC_{1}=\mu, $$ а прямые $MN$ и $PQ$ взаимно перпендикулярны. Найдите $\mu$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ с ребром $a$ точка $M$ — середина $AB$, $K$ — середина $CD$. Найдите угол и расстояние между прямыми $CM$ и $BK$. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок $CM$ и $BK$?

В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ плоскости $\alpha$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $\alpha$, если ребро куба равно 4.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB=3$, $BC=2$, $CC_{1}=4$. На ребре $AB$ взята точка $M$, причём $AM:MB=1:2$; $K$ — точка пересечения диагоналей грани $CC_{1}D_{1}D$. Найдите угол и расстояние между прямыми $D_{1}M$ и $B_{1}K$.

Основанием пирамиды $SABC$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза $AB$ которого равна $4\sqrt{2}$. Боковое ребро пирамиды $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $AC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$.

На рёбрах $NN_{1}$ и $KN$ куба $KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$ отмечены точки $P$ и $Q$, причём $\displaystyle\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$, $\displaystyle\frac{NP}{PN_{1}}=4$. Через точки $M_{1}$, $P$ и $Q$ проведена плоскость. Найдите расстояние от точки $K$ до этой плоскости, если ребро куба равно 3.

Точки $A(-2, 2, 3)$, $B(2, 4, 5)$ и $C(2, 0, 1)$ расположены на окружности основания прямого кругового конуса высотой $4\sqrt2$. Найти объём конуса и координаты его вершины.

Точки $A(-2, 2, 3)$, $B(3, 3, 1)$ и $C(3, 1, 5)$ расположены на окружности основания прямого кругового конуса высотой $3\sqrt5$. Найти объём конуса и координаты его вершины.

Точки $A(-1, 1, 1)$, $B(-1, 3, 5)$, $C(3, 3, 5)$ и $D$ являются вершинами основания четырехугольной пирамиды $ABCDS$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$, а вершина $S$ пирамиды проецируется в точку пересечения его диагоналей. Высота пирамиды равна $2\sqrt5$. Найти координаты вершин $D$ и $S$ пирамиды, а также её объём.

Найти координаты проекций точек $A(1, 1, 3)$, $B(3, 1, 1)$, $C(0, 2, 1)$ на плоскость $x+y+z=0$.

Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(-2, 2, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.

Найти координаты точки, в которую переходит точка $A(1, -1, 3)$ при повороте на $90^{\circ}$ вокруг прямой, проходящей через точки $B(1, 2, 6)$ и $C(1, 2, -3)$ по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора $\overline{BC}$.