Стереометрия

Радиус конуса равен 5. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания, равную 8, если эта плоскость составляет с плоскостью основания конуса угол $60^{\circ}$.

Радиус конуса равен $\sqrt{13}$. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду основания, равную 10, если эта плоскость составляет с плоскостью основания конуса угол $30^{\circ}$.

В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=4\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.

В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=5\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $24$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.

В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=24\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $14$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.

В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=3\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $8$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.

В конусе радиус основания $10\sqrt3$, а угол наклона образующей к плоскости основания равен $60^{\circ}$. Найти отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанного в него шара.

В конусе радиус основания $4\sqrt3$, а угол наклона образующей к плоскости основания равен $60^{\circ}$. Найти отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанного в него шара.

В конусе радиус основания $6\sqrt3$, а угол при вершине осевого сечения равен $60^{\circ}$. Найти отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанного в него шара.

В конусе радиус основания $2\sqrt3$, а угол при вершине осевого сечения равен $60^{\circ}$. Найти отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности вписанного в него шара.

На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=3:1$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SC}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SC$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.

На медиане $SM$ пирамиды $SABC$ взята точка $K$ так, что $SK:KM=1:3$. Через векторы $\vec{a}=\overline{AB}$, $\vec{b}=\overline{AC}$ и $\vec{c}=\overline{AS}$ выразить векторы $\overline{AK}$ и $\overline{SB}$. С помощью векторов найти угол между прямыми $AK$ и $SB$, если $AB=BC=AC=1$ и $SA=SB=SC=2$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=2$, $AA_{1}=6$. Точка $N$ — середина ребра $CD$, точка $M$ расположена на ребре $CC_{1}$, причём $C_{1}M:CM=1:2$, $K$ — точка пересечения диагоналей грани $AA_{1}D_{1}D$. Найдите угол между прямыми $KM$ и $A_{1}N$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, в котором $AB=4$, $AD=6$, $AA_{1}=2$. Точки $F$ и $K$ расположены на рёбрах $AD$ и $B_{1}C_{1}$ соответственно, причём $AF:FD=C_{1}K:KB_{1}=1:2$, $P$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите угол между прямыми $PK$ и $B_{1}F$.

а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$ б) В тетраэдре $ABCD$ известно, что $AB=3$, $BC=4$, $AC=5$, $AD=DB=2$, $DC=4$. Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины $D$.

а) Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$, $O$ — произвольная точка. Докажите, что $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$ б) Дан тетраэдр $ABCD$, в котором $AB=BD=3$, $AC=CD=5$, $AD=BC=4$. Найдите $AM$, где $M$ — точка пересечения медиан грани $BCD$.

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $\sqrt{3}$.

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. На отрезках $AB_{1}$ и $BC_{1}$ взяты точки $P$ и $Q$, причём $AP:PB_{1}=C_{1}Q:QB=2:1$. Докажите, что отрезок $PQ$ перпендикулярен прямым $AB_{1}$ и $C_{1}B$, и найдите его длину, если ребро куба равно $3$.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $1$.
а) Докажите, что прямая $B_1D$ перпендикулярна плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACD_1$.

Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $1$.
а) Докажите, что точки $B$ и $C_1$ равноудалены от плоскости $(ACD_1)$.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $(ACD_1)$.