Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ четыре числа — длины рёбер и диагонали $AC_1$ — образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью $d$, причём $AA_1\lt AB\lt BC$. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса $R$ расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $ABCD$, а вторая — граней $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $A_1B_1C_1D_1$. Найти:
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $12$, $\angle ADB=2\,\mathrm{arctg}(3/4)$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BA_1$, а в треугольнике $BCD$ проведены медиана $BC_1$ и высота $CB_1$. Найти:
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
1) объем пирамиды $A_1B_1C_1D$;
2) площадь проекции треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$.
Ответ:
Решение:
Три шара радиуса $r$ касаются друг друга и шара радиуса $R$ внешним образом. При каком соотношении между $r$ и $R$ это возможно? Считая, что $R\gt r$, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом.
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y}=10,\\ \sqrt{x+y}+2x+y=16.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}2+6y=\dfrac{x}{y}-\sqrt{x-2y},\\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}=\dfrac{42}{x+y},\\ xy-x=16.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-16x+64}+\sqrt{x^2+y^2+12y+36}=10,\\ 5x^2-8y^2=8.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дана функция $f(x)=\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^6x+\cos^6x}$. Найти:
1) корни уравнения $f(x)=\frac{10}{7}$;
2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$.
1) корни уравнения $f(x)=\frac{10}{7}$;
2) наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\sin^2 7x}{\sin^2 x}=16\cos 4x\,(1+2\cos 4x)+\dfrac{\cos^2 7x}{\cos^2 x}.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\dfrac{\cos^5x-\sin^5x}{\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}+\dfrac{\cos^5x+\sin^5x}{\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\dfrac98+\cos 2x.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\operatorname{tg}\left(\dfrac{2\pi\cos^2x+\pi}{4\cos^6x+1}\right)+\operatorname{ctg}\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4\cos^6x+1}\right)=0.\]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \frac{\operatorname{ctg}x-\operatorname{tg}x}{3\sin x+\cos 2x}=\operatorname{ctg}2x. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: