Поиск задач

Найти решения $(x;y)$ системы \[ \begin{cases} \sin(2x+y)=-1,\\ \cos(x-y)=1 \end{cases} \] в прямоугольнике $-\pi\leqslant x\leqslant\pi/2$, $-\pi/2\leqslant y\leqslant\pi/2$.

Каждое из четырех чисел $\frac12$; $\frac12$; $\frac32$; $2$ является результатом одной из четырех арифметических операций $\sin x+\sin y$, $\sin x-\sin y$, $\sin x\cdot\sin y$, $\sin x:\sin y$ над числами $\sin x$, $\sin y$ для некоторых $x$ и $y$. Найти все допустимые для этого пары $(x;y)$.

При каких значениях $a$ точка с координатами $(\sin a;\sin 3a)$ симметрична точке с координатами $(\cos a;\cos 3a)$ относительно прямой с уравнением $x+y=0$?

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате $\{(x;y)\colon 0\leqslant x\leqslant2\pi,\ 0\leqslant y\leqslant2\pi\}$ удовлетворяют системе уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sin y=\sin1,\\ \cos x+\cos y=\cos1. \end{cases} \] Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями \[ \dfrac{\sin x}{1+\sin y-\sin x}=\dfrac{\sin y}{1+\sin x-\sin y}=\dfrac{1}{\sin x+\sin y-1}. \] Найдите наименьшее возможное значение величины $\sin^2x-\frac16\cos2y$.

Для каждой пары целых, положительных чисел $(m,n)$, связанных соотношением \[ 3m+2n=19, \] найти решение $x$ уравнения \[ 2^{r_n x}+r_m\cdot 2^x-8=0, \] где $r_k$ — остаток от деления $k$ на 3.