Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
На доске написано выражение $\cos x$. Разрешается сложить или перемножить несколько написанных на доске выражений (одно выражение может использоваться несколько раз) и дописать полученное новое выражение на доску. Можно ли за несколько действий получить выражение, которое при $x=\pi$ принимает значение 0?
Ответ:
Решение:
На доске написаны функции: $x+1$, $x^2+1$, $x^3+1$, $x^4+1$. Разрешается дописывать на доску новые функции, получаемые из написанных на доске с помощью операций вычитания и умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента — неположительные значения.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция с основаниями 4 и 12 и высотой 4. Можно ли разрезать её на три части и сложить из этих частей квадрат?
Ответ:
Решение:
Изначально на столе лежали 10 куч конфет, в которых было 1, 2, $\ldots$, 10 конфет соответственно. Малыш решил перераспределить конфеты. На каждой нечётной минуте он выбирает одну из куч и делит её на две кучи, в каждой из которых хотя бы по одной конфете. На каждой чётной минуте он выбирает две кучи и объединяет их в одну (таким образом, первым действием он делит кучу на две). Может ли в некоторый момент оказаться, что все кучи на столе содержат одно и то же количество конфет?
Ответ:
Решение:
В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке $X$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Числа 13, 14, 15, $\ldots$, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных.
Известно, что:
2. Найдите три зелёных числа.
Известно, что:
- все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны;
- число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее.
2. Найдите три зелёных числа.
Ответ:
Решение:
В таблице $3\times3$ расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате $2\times2$ равно 3. Найдите число, стоящее в центральной клетке.
Ответ:
Решение:
У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие:
- никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями;
- никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями.
Ответ:
Решение:
Существуют ли четыре попарно различных положительных числа $a$, $b$, $c$, $d$, при которых все четыре числа \[ \frac{a+b}{a-b},\quad \frac{b+c}{b-c},\quad \frac{c+d}{c-d},\quad \frac{d+a}{d-a} \] являются целыми?
Ответ:
Решение:
Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся еще ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
Ответ:
Решение:
Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.
Ответ:
Решение:
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Ответ:
Решение:
В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?
Ответ:
Решение:
В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?
Ответ:
Решение:
В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?
Ответ:
Решение:
Из четырёх одинаковых треугольников сложен выпуклый четырёхугольник. Верно ли, что у этого четырёхугольника обязательно есть параллельные стороны?
Ответ:
Решение:
В каждой вершине куба живёт число, не обязательно положительное. Все восемь чисел различны. Если число равно сумме трёх чисел, живущих в соседних с ним вершинах, то оно счастливо. Какое наибольшее количество счастливых чисел может жить в вершинах куба?
Ответ:
Решение:
Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть меньше 75?
Ответ:
Решение:
В таблице $6\times6$ изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами?
Ответ:
Решение:
Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?
Ответ:
Решение: