Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Петя и Вася играют в игру. На доске написано число:\[11223334445555666677777.\]За один ход разрешается стереть любое количество одинаковых цифр. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю цифру. Петя ходит первым. Может ли он так ходить, чтобы гарантированно выиграть?
Ответ:
Решение:
По окружности выписаны 2022 единицы. Два игрока ходят по очереди: за один ход игрок стирает два соседних числа из написанных и пишет вместо них их сумму (один раз). Выигрывает тот, кто получит число 4. Если в конце игры остаётся одно число, не равное 4, игра оканчивается вничью. Может ли кто-то из игроков обеспечить себе победу, и если да, то каким образом?
Ответ:
Решение:
На доске написан квадратный трёхчлен $x^2+9x+47$. Таня (по своему усмотрению) увеличивает или уменьшает на 1 коэффициент при $x$, после чего Ваня увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член, а далее эти действия повторяются. Как только написанный на доске многочлен имеет целый корень, Ваня получает оценку «пять». Может ли он обеспечить себе «пятёрку» при любых действиях Тани, если а) $m=2$; б) $m=3$?
Ответ:
Решение:
На столе лежат $2021$ красных и $2022$ зелёных камня. Аня и Петя делают ходы по очереди. Аня ходит первой. При каждом ходе игрок выбирает цвет и удаляет $n$ камней этого цвета, где число $n$ должно быть делителем текущего числа камней другого цвета. Кто возьмёт последний камень, тот выиграет. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от ходов соперника?
Ответ:
Решение:
На числовой прямой отмечены 200 точек, имеющие координаты $1, 2, \ldots, 200$. Двое игроков по очереди ставят в любую из ещё незанятых точек число «0» или число «1». Когда все возможные ходы сделаны, рассматриваются 199 отрезков $[1;2]$, $[2;3]$, $[3;4]$, …, $[199;200]$ и подсчитываются баллы за каждый отрезок: если концы отрезка содержат одинаковые числа, то 1 балл получает первый игрок, если разные — то второй.
а) Кто из игроков может обеспечить себе бо́льшую сумму баллов независимо от ходов соперника?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра (при условии, что каждый игрок играет наилучшим для себя образом)?
а) Кто из игроков может обеспечить себе бо́льшую сумму баллов независимо от ходов соперника?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра (при условии, что каждый игрок играет наилучшим для себя образом)?
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, не превышающих 2022 и не входящих ни в арифметическую прогрессию $1, 3, 5, \ldots$, ни в арифметическую прогрессию $1, 4, 7, \ldots$
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды путешественник забрёл на вечеринку, на которой собрались 12 жителей острова (назовём их для краткости $A$, $B$, …, $L$). Путешественник подсел к $A$ и начал задавать вопросы: «$B$ — рыцарь или лжец?»; «$C$ — рыцарь или лжец?»; …; «$L$ — рыцарь или лжец?» По полученным 11-ти ответам путешественник смог определить, сколько всего рыцарей среди $A$, …, $L$. Сделайте это и вы.
Ответ:
Решение:
В ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?
Ответ:
Решение:
В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение:
В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2^{x+2y}+2^x=3\cdot2^y,\\ 2^{2x+y}+2\cdot2^y=4\cdot2^x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $x\in(0;\pi]$, удовлетворяющие уравнению \[ |\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,2x\,\mathrm{tg}\,3x|+|\mathrm{tg}\,x+\mathrm{tg}\,2x|=\mathrm{tg}\,3x. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные решения уравнения \[ \left|\arccos\sin 6-\frac{\pi x}{2}\right|=6. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все решения уравнения \[ \operatorname{arcctg}^2 x = 3\operatorname{arctg}^2 x + \dfrac{\pi^2}{36}. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что уравнение \[ \sin(2020x)+\cos(2020x)=\dfrac{x}{5050}+1 \] имеет по крайней мере $8000$ корней, принадлежащих отрезку $[-2\pi;2\pi]$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольной полоске \[ 0\leqslant x\leqslant 1,\quad -1\leqslant y\leqslant 1 \] построили графики функций \[ y=\sin k\pi x\quad\text{для всех } k\in\{11,13,17\}. \] На сколько непересекающихся областей окажется разделена эта полоска?
Ответ:
Решение: