Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Петя написал пять последующих членов арифметической прогрессии и зашифровал их по принципу: каждую цифру заменил на букву, разным цифрам — разные буквы и наоборот. Вот что получилось: Д, БЕ, АФ, СС, ФА. Какие числа написал Петя?
Ответ:
Решение:
Целые положительные шестизначные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что если к сумме цифр числа $a_1$ прибавить сумму цифр числа $a_2$, то получится 36. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a_1\cdot a_2$.
Ответ:
Решение:
Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x-5y=23$, удовлетворяют неравенству $x^2+y^2\leqslant 37$? Найти пару $(x;y)$, для которой $x+y$ наибольшее.
Ответ:
Решение:
Найти целые положительные делители $x$ и $y$ числа 1232, удовлетворяющие уравнению \[ 5x-3y+13=0. \]
Ответ:
Решение:
Робот умеет совершать маневры двух типов: шагать по прямой вперед на 510 шагов и останавливаться, а также проходить по той же прямой 390 шагов назад и останавливаться. Заряд батареи допускает не более 20 таких маневров. Задача робота — остановиться как можно ближе к объекту, расположенному впереди на расстоянии 692 шага от начального положения робота. На каком наименьшем расстоянии от объекта может остановиться робот (в шагах)? Сколько раз при этом робот совершит движение вперед и назад?
Ответ:
Решение:
Сократимая обыкновенная дробь $\dfrac{p}{q}$ при прибавлении к числителю и знаменателю $7$ возросла в три раза. Найти $p$ и $q$, если известно, что $\text{НОД}(p,q)=2$.
Ответ:
Решение:
Найти целые числа $x$ и $y$, для которых \[ \log_2\left(\frac{x}{17}+\frac{y}{5}\right)=\log_2\frac{x}{17}+\log_2\frac{y}{5}. \]
Ответ:
Решение:
Вася и Петя занялись тем, что выкладывали на столе фигуры из одинаковых картонных правильных треугольников. Когда каждый из них собрал свой большой правильный треугольник (без дырок), то оказалось, что Вася использовал на него на $161$ треугольник больше, чем Петя. Сколько треугольников использовал Петя, если у него их было не более $100$ штук?
Ответ:
Решение:
Рациональные числа $x$ и $y$ таковы, что их логарифмы $\log_{\sqrt{2}}x$ и $\log_{\sqrt[3]{3}}y$ также рациональны и их сумма равна 73. Найти $x$ и $y$.
Ответ:
Решение:
Найти шесть ненулевых целых чисел, произведение которых не меняется, если из каждого них вычесть двойку.
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных троек натуральных чисел $a$, $b$, $c$, для которых $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12$? (Тройки, отличающиеся порядком следования элементов, считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Доказать, что существует более $2024$ различных троек целых чисел $(x;y;z)$, для которых \[ x^{2022}+y^{2022}=z^{2023}. \]
Ответ:
Решение:
В центре стола находятся 600 фишек, и Петя готовится играть на нем в игру под названием «Забери больше фишек». Цель игры — убрать со стола как можно больше фишек, соблюдая правило: за один ход можно убрать со стола ровно 154 фишки (или не брать ни одной), а вернуть на стол только 105 (или не возвращать ни одной). Какое наибольшее число фишек может убрать со стола Петя, соблюдая правила? Своих фишек в карманах Пети нет.
Ответ:
Решение:
Для всех целых $k\lt 0$ найти целые решения $x$ и $y$ системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+xy^2-ky^2=0,\\ x^2-xy+ky^2=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Представить число 2020 в виде суммы кубов пяти целых чисел. Доказать, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Ответ:
Решение:
На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найдите расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трехчлена равен $4$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее целое трехзначное число $n$, для которого число $15n^2+13n+2$ делится на $49$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что выражение $2\cdot6^n-25n^2+15n-2$ делится без остатка на $125$ при любом натуральном $n\gt 1$.
Ответ:
Решение: