Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
На столе лежат 140 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 417, 420$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 7?
Ответ:
Решение:
Есть 200 различных карточек с числами $2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{100}, 3^{100}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 130 различных карточек с числами $502, 504, 506, \ldots, 758, 760$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?
Ответ:
Решение:
На столе лежат 100 различных карточек с числами $3, 6, 9, \ldots, 297, 300$ (на каждой карточке ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 5?
Ответ:
Решение:
Есть 306 различных карточек с числами $3, 19, 3^2, 19^2, \ldots, 3^{153}, 19^{153}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
У Васи есть карточки с числами $2000, 2001, \ldots, 2051, 2052$ (на каждой карточке записано ровно одно число; есть ровно одна карточка с каждым из указанных чисел). Сколькими способами он может выбрать $4$ карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных делилась на $3$?
Ответ:
Решение:
В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?
Ответ:
Решение:
На доске написаны подряд идущие натуральные числа от $1$ до $301$ (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на $3$ после этого не изменился?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $1$ до $100$ можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 302 три различных числа так, чтобы их сумма делилась на 3?
Ответ:
Решение:
Есть $300$ карточек с числами от $1$ до $300$ (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна $3$?
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске выражение $31+32+33+\ldots+100$, после чего стёр из него несколько слагаемых (при необходимости вместе с идущими перед ними знаками). Значение получившегося после вычёркивания чисел выражения оказалось равно $4489$. Сколькими способами Вася мог стереть числа с доски?
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $\{1;2;\ldots;150\}$. Для каждого из них среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Найдите среднее арифметическое всех этих средних арифметических.
Ответ:
Решение:
Есть 207 различных карточек с числами $1, 2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{103}, 3^{103}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа, делящегося на 6?
Ответ:
Решение:
У фокусника есть набор из $12^2$ различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая — синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник хочет вытащить две карточки так, чтобы среди них был хотя бы один дубль, и при этом никакое число не встречалось одновременно на обеих вытянутых карточках. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны попарно различные натуральные числа: часть из них чётны, но не делятся на $3$, остальные же делятся на $3$ и при этом нечётны. Оказалось, что выбрать тройку чисел из выписанных на доску так, чтобы среди них оказалось хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное $3$, можно $25$ способами. Сколько было выписано чисел?
Ответ:
Решение:
На доске выписано $10n$ последовательных натуральных чисел ($n\in\mathbb N$). Из них выбираются три попарно различных числа, среди которых ровно одно кратно 2 и ровно одно кратно 5. Известно, что можно составить ровно 5112 таких троек. Чему равно $n$?
Ответ:
Решение:
В научной лаборатории составляется план запуска решения задач на кластере. За $100$ дней требуется сделать $10$ запусков, а после каждого запуска, кроме последнего, кластер загружен только данной задачей в течение $7$ дней, включая день запуска. При последнем запуске требуется обработать результаты всех предыдущих запусков, на что требуется $8$ дней работы кластера, включая день последнего запуска. Сколькими способами сотрудники лаборатории могут выбрать дни запусков расчётов? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $T=\{1;2;\ldots;100\}$. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть $A$ — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число $40$, а $B$ — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число $61$. Найдите сумму $A+B$.
Ответ:
Решение:
Петя записал на доске множество $A$ всех натуральных чисел от $1$ до $100$. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества $A$ нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число $x$ — среднее арифметическое всех найденных средних арифметических. Затем Петя заменил в своём множестве $A$ число $10$ на число $1000$, а Вася пересчитал ту же величину $x$ для нового множества. На сколько увеличилось значение $x$?
Ответ:
Решение: