Поиск задач

Даны натуральные числа $m$ и $k$, причём $m\gt 100$ и $1\lt k\lt 2m$. Изначально в ряд выложены $2m$ пластилиновых шариков, каждый шарик имеет массу 1. Петя и Вася играют в игру, делая $2m-1$ ходов по очереди, начинает Петя. За ход игрок должен выбрать два соседних шарика и слепить их в один шарик (который остаётся в том же месте в ряду). Победа присуждается Пете, если в какой-либо момент игры в ряду появлялся шарик массы $k$. Иначе победа присуждается Васе. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?

Можно ли 2026 чисел $1+\sqrt{2}$, $1+2\sqrt{2}$, $\ldots$, $1+2026\sqrt{2}$ разбить на две непустые группы так, чтобы произведения чисел в группах имели одинаковую дробную часть?

В стране ровно 1000 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними авиалиниями. Известно, что для любого натурального $k\leqslant500$ выполнено следующее утверждение: «Если выбрать любое множество $A$ из $k$ городов, то найдётся хотя бы $k$ городов, не принадлежащих $A$, каждый из которых соединён авиалинией хотя бы с одним городом из $A$». Какое наименьшее количество авиалиний может быть в этой стране?

Существует ли выпуклый 201-угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?

Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а его высоты пересекаются в точке $H$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $B$, к окружности $(AHB)$ в точке $A$ и к окружности $(CHA)$ в точке $C$ ограничивают треугольник $T_1$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $C$, к окружности $(AHB)$ в точке $B$ и к окружности $(CHA)$ в точке $A$ образуют треугольник $T_2$. Пусть $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $T_1$ и $T_2$ соответственно. Докажите, что $HI_1OI_2$ — параллелограмм, либо точки $H$, $I_1$, $O$, $I_2$ лежат на одной прямой. (Здесь под окружностью $(XYZ)$ мы понимаем окружность, описанную вокруг треугольника $XYZ$.)

Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ удовлетворяет равенству \[ a_1+a_2+\ldots+a_{2n-1}=a_n^2 \] при всех натуральных $n$. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3.

На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.

Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.