Поиск задач

В строку выписаны числа $1, 2, 3, \ldots, 60$ (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки $+$, $-$ и $\times$ между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3, то победа присуждается Игорю, иначе Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника?

Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа $a$, $b$, $c$ и заменить число $b$ на $a-b+c$. При каком наибольшем $k$ Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколько операций так, чтобы после них среди чисел оказалось $k$ целых?

Шахматного короля поставили на клетку доски $8\times8$ и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.)

На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в чёрный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцветных треугольника не имели общего отрезка границы?

На периметре треугольника $ABC$ выбраны точки $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$, $F_1$, $F_2$ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке $A$, $F_1$, $F_2$, $B$, $D_1$, $D_2$, $C$, $E_1$, $E_2$. Оказалось, что \[ AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2. \] Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых $AD_1$, $BE_1$, $CF_1$ и $AD_2$, $BE_2$, $CF_2$, равны.

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ABE$ и $CDE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\omega$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\gamma$. Докажите, что центры окружностей $\omega$ и $\gamma$ совпадают.

Найдите все натуральные $n$, для которых существует такое чётное натуральное $a$, что число \[ (a-1)(a^2-1)\ldots(a^n-1) \] является точным квадратом.

Пусть $P_1(x)$ и $P_2(x)$ — приведённые квадратные трёхчлены, а точки $A_1$ и $A_2$ — соответственно вершины парабол $y=P_1(x)$ и $y=P_2(x)$. Через $m(g(x))$ будем обозначать наименьшее значение функции $g(x)$. Известно, что разности $m(P_1(P_2(x)))-m(P_1(x))$ и $m(P_2(P_1(x)))-m(P_2(x))$ оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой $A_1A_2$ и прямой, содержащей ось $Ox$.