Поиск задач

В каждую клетку таблицы $5\times5$ невидимыми чернилами вписано натуральное число. Известно, что сумма всех чисел равна 200, а сумма трёх чисел, находящихся внутри любого прямоугольника $1\times3$, равна 23. Чему равно центральное число в таблице?

В центральной клетке доски $21\times21$ находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка?

Прямоугольник $ABCD$ таков, что $AD=2AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Внутри прямоугольника нашлась точка $K$ такая, что $\angle AMK=80^\circ$ и луч $KD$ является биссектрисой угла $MKC$. Сколько градусов составляет угол $KDA$?

Известно, что $\dfrac{a+b}{a-b}=3$. Найдите значение выражения $\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?

У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от 1 до $n$. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке?

Хулиган Вася любит бегать по эскалатору в метро, причём вниз он бежит в два раза быстрее, чем вверх. Если эскалатор не работает, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 6 минут. Если эскалатор едет вниз, то, чтобы сбегать вверх и вниз, Васе потребуется 13,5 минут. Сколько секунд потребуется Васе, чтобы сбегать вверх и вниз по эскалатору, который будет ехать вверх? (Эскалатор всегда движется с постоянной скоростью.)

График квадратного трёхчлена $y=\frac{2}{\sqrt{3}}x^2+bx+c$ пересекает оси координат в трёх точках $K$, $L$ и $M$, как на рисунке ниже. Оказалось, что $KL=KM$ и $\angle LKM=120^\circ$. Найдите корни данного трёхчлена.