Поиск задач

Доска для игры состоит из левой и правой частей. В каждой части есть несколько полей; между ними проведено несколько отрезков, каждый соединяет два поля из разных частей. При этом с любого поля можно по отрезкам добраться до любого другого. Изначально на одном поле левой части стоит лиловая фишка, а на одном поле правой — пурпурная. Лёша и Паша ходят по очереди; начинает Паша. За ход игрок перемещает свою фишку (Лёша — лиловую, а Паша — пурпурную) по отрезку на поле, на котором нет другой фишки. При этом запрещено создавать позицию, которая уже встречалась в игре (позиции совпадают, если в них лиловая фишка стоит на одном и том же поле, и пурпурная — тоже). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Существуют ли доска и начальное расположение фишек, при которых у Паши есть выигрышная стратегия?

Дано натуральное число $k$. На клетчатой плоскости изначально отмечено $N$ клеток. Назовём крестом клетки $A$ множество всех клеток, находящихся в одной вертикали или горизонтали с $A$. Если в кресте неотмеченной клетки $A$ отмечено хотя бы $k$ других клеток, то клетку $A$ также можно отметить. Оказалось, что цепочкой таких действий можно отметить любую клетку плоскости. При каком наименьшем $N$ это могло случиться?

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $D$ — основание высоты, проведённой из $A$. На отрезке $MN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=CK$. Луч $KD$ пересекает окружность $\Omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $Q$. Докажите, что точки $C$, $N$, $K$ и $Q$ лежат на одной окружности.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN\parallel AD$ и $MN=2AD$. Пусть $K$ — середина отрезка $MN$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.

В таблицу $10\times10$ записаны положительные числа так, что в любой строке числа образуют арифметическую прогрессию (в порядке следования слева направо), а в любом столбце — геометрическую прогрессию (в порядке следования сверху вниз). Докажите, что знаменатели всех этих геометрических прогрессий равны.

Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдётся натуральное $a$ такое, что прибавление числа $a$ случится бесконечное количество раз.

Даны натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $a^n+1$ не делится на $n^b+1$.

Найдите количество корней уравнения \[ |x|+|x+1|+\ldots+|x+2018|=x^2+2018x-2019. \]