Поиск задач

Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.

Найдено задач: 10 · весь вариант по порядку
8738
В турнире у волейбольной команды было $10$ побед и $6$ поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательностью побед и поражений. Ничьих в волейболе не бывает.
Ответ:
Решение:
8947
Имеется $2600$ наборов по $50$ карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на $100$ карточках этих наборов будет написано ровно $99$ различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество различных натуральных чисел может быть написано на всех карточках этих $2600$ наборов?
Ответ:
Решение:
9267
Найдите количество пар $(x;y)$ таких, что $x,y\in\mathbb{Z}$ и \[ \begin{cases} \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi y}{2}\right),\\ \cos\left(\dfrac{2\pi x+\pi y}{12}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi y}{12}\right),\\ |2x+y-45|+|y|\leqslant 45. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
9626
Сколько существует таких прямоугольных треугольников $ABC$, что в них высота $CD$, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой $AB$ соотношением $2DC+2=AB$, отрезки $CD$, $AD$ и $BD$ имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы $AB$ лежит в промежутке $[10;1000]$?
Ответ:
Решение:
9738
Найдите все положительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\frac{1}{x}$ и $x^2-4x$ являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
10286
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ равного радиуса $10$ пересекаются в точках $B$ и $C$. На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A$, которая не лежит внутри $\omega_2$. Луч $AB$ пересекает $\omega_2$ в точке $D$, причём $B$ лежит на отрезке $AD$. Точка $E$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. Найдите $AE$, если $AD=25$, $BC=15$. Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
10287
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$, а затем на отрезке $CH$ как на диаметре построена окружность. Точки $M$, $N$ и $P$ отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение $BH:CH$, если $(MP\cdot NP):CP^2=0{,}75$ и $AH:CH=0{,}5$.
Рисунок: треугольник ABC с высотой CH; окружность на CH как на диаметре пересекает AC в точке M и BC в точке N; отрезок MN пересекает CH в точке PРисунок: треугольник ABC с высотой CH; окружность на CH как на диаметре пересекает AC в точке M и BC в точке N; отрезок MN пересекает CH в точке P
Ответ:
Решение:
10334
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$, а на меньшей дуге $BC$ его описанной окружности отмечены точки $P$ и $Q$ так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $R$. Найдите угол $BAC$, если угол $BRC$ равен $\alpha$.
Рисунок: треугольник ABC, вписанный в окружность; точки X, Y делят BC на три равных отрезка BX=XY=YC; точки P, Q делят меньшую дугу BC на три равные дуги; лучи PX и QY пересекаются в точке R по другую сторону от BCРисунок: треугольник ABC, вписанный в окружность; точки X, Y делят BC на три равных отрезка BX=XY=YC; точки P, Q делят меньшую дугу BC на три равные дуги; лучи PX и QY пересекаются в точке R по другую сторону от BC
Ответ:
Решение:
11297
Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от $1$ до $6$, а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того, что Маша победила, если известно, что игра закончилась за четыре хода? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
11957
Решите уравнение \[ \sqrt[3]{x+5}+\sqrt[3]{4x+4}=\sqrt[3]{2x+2}+\sqrt[3]{3x+7}. \] В ответе укажите сумму найденных корней.
Ответ:
Решение: