Поиск задач

Назовём натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 ($3+2+2+1=8$), 5678 ($5+8=6+7$). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[400;2400]$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ |x+1-a|+|4^x-a|=4^x-x-1 \] имеет на промежутке $[-1;1]$ единственное решение?

Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M$. Найдите длину секущей $OM$, если $BC=6$, $AB:AC=3:1$, и $\angle BAC=60^\circ$.

На чертеже есть парабола и три точки $A$, $B$, $C$. Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины $O$ параболы до прямой $AC$ равно 2. Найдите площадь треугольника $OAB$, если $AC=4$, а $BC=3$.

Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.

На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились — каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?

Решите неравенство: \[ \sqrt{\log_2^2x+3\log_2x-\sqrt{\log_2^2x+3\log_2x-4}}\geqslant\log_2x+1. \] В ответ запишите сумму всех целых значений функции $f(x_0)=16x_0$, где $x_0$ — решение неравенства.

Решите неравенство: \[ \sqrt{\sqrt{\cos x}+2\sqrt{-3\sin x}}\gt 2\sqrt{\sqrt{\cos x}-\sqrt{-3\sin x}}. \]