Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 8
· весь вариант по порядку
Назовём натуральное число $n$ квадратируемым, если числа от 1 до $n$ можно расставить в таком порядке, что каждый член последовательности в сумме со своим номером даёт точный квадрат. Например, число 5 квадратируемо, так как можно расставить числа так: 3 2 1 5 4, при этом $3+1=2+2=1+3=4$ и $5+4=4+5=9$. Выясните, какие из чисел 7, 9, 11, 15 являются квадратируемыми.
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр каждого из которых равна 5, упорядочили по возрастанию. Какое число стоит на 125-м месте?
Ответ:
Решение:
В «Драконьем покере» в колоде четыре масти. Туз приносит 1 очко, валет — 2 очка, двойка — $2^2$, тройка — $2^3$, …, десятка — $2^{10}=1024$ очка. Короли и дамы отсутствуют. Можно выбирать из колоды любое количество карт. Сколькими способами можно набрать 2018 очков?
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 8 расставлены в вершинах куба так, чтобы сумма чисел в любых трёх вершинах, находящихся на одной грани, была не менее 10. Какова наименьшая возможная сумма чисел, стоящих в вершинах одной грани?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $k$, при которых число $k^2-101k$ является точным квадратом, т. е. квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, у которых радиусы вписанных окружностей равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
Моль проела в ковре дырку в форме прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см. Найдите наименьший размер квадратной заплатки, которой можно закрыть эту дырку (заплатка закрывает дырку, если все точки прямоугольника лежат внутри квадрата или на его границе).
Ответ:
Решение: