Поиск задач

Для охраны объекта заказчик договорился с охранниками о следующем: все они укажут отрезки времени своих предполагаемых дежурств с единственным условием, чтобы их объединение составляло заранее заданный заказчиком отрезок времени, а он выберет из этих отрезков любой набор, удовлетворяющий тому же условию, и оплатит работу из расчёта 300 руб. в час каждому дежурному. Какой наибольший отрезок времени заказчик может задать, чтобы наверняка уложиться в 90000 руб?

Миша выписал на доске подряд все натуральные числа от 7 до 2020. Пришла Маша и заменила каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришёл Ваня и сделал то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?

Прямоугольная таблица состоит из 5863 одинаковых клеток. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами $1,2,\ldots,5863$ подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а Вася — по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и т. д.). Оказалось, что ровно в 7 клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице?

Найдите все пары $(a,b)$, при которых множество решений неравенства \[ \log_{2014}(2x+a)\gt x^2-2x-b \] совпадает с промежутком $(1;2)$.

Найдите все значения $\alpha$, при каждом из которых нули функций \[ f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}+\alpha\right)\quad\text{и}\quad g(x)=2\sin2x+4\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt3 \] строго чередуются на числовой оси.

Прямоугольник, отношение сторон которого равно 5, имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба. Найдите острый угол ромба.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма модулей корней квадратного трёхчлена $x^2-5ax+4a$ равна 3.

В правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ вписан шар радиуса $\sqrt{10}$. Найдите объём вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и середины рёбер $BB_1$ и $CC_1$.