Поиск задач

Внутри треугольника $ABC$ выбирают случайную точку $M$. Какова вероятность, что площадь одного из треугольников $ABM$, $BCM$ и $CAM$ окажется больше суммы площадей двух других?

Робот-пылесос «Orthogonal» решил пропылесосить координатную плоскость. Он выходит из точки $O$, расположенной в начале координат, и проходит по прямой расстояние $X_1$. В точке, куда он пришел, пылесос поворачивается и описывает окружность с центром в начале координат. Завершив окружность, он, не меняя направления, проходит по прямой расстояние $X_2$. Затем он снова поворачивается боком к началу координат, чтобы снова описать окружность с центром в начале координат, а завершив ее, продолжает движение по прямой и проходит расстояние $X_3$. Таким образом он действует и дальше. Известно, что величины $X_1$, $X_2$, $X_3$, … подчиняются некоторому распределению с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $d$. Найдите математическое ожидание площади круга, ограниченного $n$-й окружностью, по которой прошел пылесос.

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды в маленькой лавке в центре Львова Стефан Банах купил два коробка спичек и положил их в карман пиджака. В каждом коробке было 60 спичек.
Когда Банаху нужна спичка, он вынимает случайный коробок и берет из него спичку. В какой-то момент Банах достал коробок и обнаружил, что он пуст. Найдите математическое ожидание числа спичек в другом коробке.

Закончив писать книгу о степенных средних, Рассеянный Ученый решил заняться лепидоптерологией, то есть изучением бабочек. Он взял сачок и отправился на Суматру, где водится ровно $n$ видов бабочек. Когда Ученый видит бабочку, он накрывает ее сачком, а уже потом рассматривает, поскольку зрение у Ученого не очень хорошее.
Пойманная бабочка может оказаться $j$-го вида с вероятностью $p_j$, где $j=1,\ldots,n$. Если бабочку такого вида Ученый еще не видел, то он ее тщательно измеряет, взвешивает, фотографирует, описывает и отпускает на волю. Если же бабочка такого вида уже встречалась, то Ученый отпускает ее сразу и ищет следующую бабочку.
Покажите, что через три дня такой охоты математическое ожидание числа видов бабочек, недостающих в описании Ученого, будет минимально возможным, если все вероятности $p_j$ равны между собой.

Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция, в которой десять разных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1. Леша захотел собрать полную коллекцию. Каждый день мама покупает ему одно шоколадное яйцо с крокодилом.
Сначала в коллекции Леши появился крокодил в очках, затем — крокодил с газетой. Третьим экземпляром, какого не было прежде, стал крокодил с тростью. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество крокодилов с тростью, которые оказались у Леши к моменту, когда у него образовалась полная коллекция».

В 100 ящиков случайным образом кладут ровно 100 шариков. Какова вероятность того, что в последнем ящике окажется единственный шарик?

Витя и Маша родились в одном и том же году в июне. Найдите вероятность того, что Витя хотя бы на один день старше Маши.

Три рыцаря случайным образом рассаживаются на стулья, расставленные вокруг стола при дворе короля Артура. Какова вероятность того, что по обе стороны от каждого рыцаря окажется свободный стул, если:
а) стульев всего 7?
б) стульев всего $n$?

Когда Витя был первоклассником, у него была касса цифр с 12 карточками: две карточки с цифрой 1, две карточки с цифрой 2 и так далее до цифры 6. Витя выложил их на стол в ряд в случайном порядке слева направо, а затем убрал первую единицу, первую двойку, первую тройку и так далее. Например, если у Вити сначала была последовательность 434653625112, то получилась бы последовательность 436512. Какова вероятность того, что у Вити на столе осталась последовательность 123456?

Есть очень много симметричных игральных кубиков. Их бросают одновременно. При этом с некоторой вероятностью $p\gt 0$ может получиться сумма очков 2022. Какова наименьшая сумма очков, которая может выпасть при бросании этих кубиков с той же вероятностью $p$?

Гистограмма (рис. 1) показывает распределение вагонов пассажирского состава по количеству пассажиров (в 4 % вагонов пассажиров от 10 до 19, в 6 % вагонов — от 20 до 29 и т.д.). Если в вагоне 60 пассажиров или больше, то назовем такой вагон переполненным.

Распределение вагонов по числу пассажиров
а) Найдите долю переполненных вагонов.
б) Найдите наименьшую возможную долю пассажиров, едущих в переполненных вагонах.
в) Может ли доля пассажиров, едущих в переполненных вагонах, быть меньше доли переполненных вагонов?

В каждом из пяти городов Анчурии имеется метрополитен. На рисунке показаны схемы линий метро в этих пяти городах. Некоторые сведения о метрополитенах Анчурии даны в таблице. Определите, к какому городу относится каждая схема.
Метрополитены в городах Анчурии

Город	Общая протяженность линий, км	Количество станций	Пассажиропоток в день, тыс. чел.	Средняя длина перегона между соседними станциями, км
Сан-Матео	39	20	100	1,5
Коралио	15	9	22	1,5
Аласан	16	9	20	2
Альфоран	18	9	30	2
Солитас	14	8	25	2

В январе доктор дал Рассеянному Ученому упаковку с 10 таблетками от рассеянности. Ученый хранит таблетки в шкафчике. Когда Ученого одолевает приступ рассеянности (а это бывает несколько раз в неделю в случайные моменты времени), он открывает шкафчик, берет с полочки упаковку, принимает таблетку и смотрит, сколько всего таблеток от рассеянности у него осталось. Если Ученый видит, что у него осталась только одна таблетка, он немедленно заказывает точно такую же новую упаковку в аптеке с моментальной доставкой и тут же кладет ее в тот же шкафчик на ту же полочку.
Если Ученый видит, что очередная упаковка опустела, он тут же ее выбрасывает в мусорное ведро.
Какова вероятность того, что в 10 часов утра 31 декабря у Рассеянного Ученого в шкафчике будет ровно две упаковки с таблетками от рассеянности?

У Вити в неделю пять уроков математики — по одному во все дни с понедельника по пятницу. Витя знает, что с вероятностью $\frac{1}{2}$ учитель во время учебной недели не проверит у него домашнее задание, а с вероятностью $\frac{1}{2}$ проверит, причем только на одном из уроков математики, зато не угадаешь когда — на любом уроке с равными шансами.
В конце урока математики в четверг Витя понял, что пока на этой неделе учитель так и не проверил у него домашнее задание. Какова вероятность того, что домашнее задание будет проверено в пятницу?

Шоссе, идущее с запада на восток, пересекается с $n$ равнозначными дорогами, пронумерованными числами от 1 до $n$ по порядку. По этим дорогам с юга на север и с севера на юг едут машины. Вероятность того, что машина подъедет к шоссе по каждой из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Точно так же, вероятность того, что машина свернет с шоссе на каждую из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Дорога, по которой машина покидает шоссе, не зависит от того, где эта машина въехала на шоссе.
Найдите вероятность того, что случайная машина, выехавшая на шоссе, минует $k$-й перекресток (проедет его насквозь или повернет на нем).

Две футбольные команды А. и Б. одинаково хорошо играют в футбол. Тренеры договорились о двух товарищеских матчах. За победу в матче команде дается 2 очка, за ничью — 1 очко, при поражении — 0 очков. Вероятность ничьей в каждой встрече одинакова и равна $p$.
На следующий год прошла аналогичная товарищеская серия из двух матчей. Команды играли в том же составе, они были по-прежнему равной силы, но вероятность $p$ выросла. Можно ли утверждать, что увеличилась вероятность того, что команды получат поровну очков?