Поиск задач

На клетки доски $12\times 12$ положили камни попарно различного веса (в каждую клетку положили ровно один камень). Тройку клеток назовем хорошей, если они расположены в виде «уголка», а камень, лежащий в «вершине» уголка, тяжелее каждого из двух камней, лежащих в двух остальных клетках уголка. Какое наибольшее количество хороших троек клеток может быть на доске? Тройки могут пересекаться.

Назовём натуральное четырёхзначное число хорошим, если оно имеет в своей записи ровно две различные цифры, причём эти цифры имеют одну чётность. Найдите количество хороших чисел.

Дано множество чисел $M=\{2024, 2025, \ldots, 2031\}$. Для каждого непустого подмножества множества $M$ (включая само множество $M$) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число $S$. На какое двузначное число заканчивается $S$?

Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям:

• число нечётное, но не является простым,
• оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в $178$ раз, а другое — уменьшить в $178$ раз, их сумма не изменится.

На доске написано число $987\,656\,789$. Вася заменил в нём какие-то $4$ цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на $275$. Найдите это число.

Окружность $\omega$ касается оснований $AD$ и $BC$ равнобокой трапеции $ABCD$ в их серединах и пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ таких, что $K$ лежит между $A$ и $L$, а $AK=24$, $KL=30$, $BL=10$. Найдите квадрат радиуса окружности $\omega$.

Попарно различные натуральные числа $m$, $n$, $k$ таковы, что \[ m+n+k=301. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы корней уравнения $2x^2+(m+k)n=(m+2n+k)x$.

Время работы ноутбука от батареи обратно пропорционально мощности, потребляемой всеми его компонентами. Если ноутбук полностью заряжен, то он проработает с максимальной яркостью экрана $4$ часа. При этом $2/3$ мощности потребляет экран. Вася использует ноутбук следующим образом: каждый раз, когда батарея разряжается на очередные $25\%$ от изначального значения (то есть достигает уровня $75\%$, $50\%$, $25\%$), он уменьшает яркость экрана на $25\%$ (от первоначального значения яркости). Сколько времени ему удастся проработать за ноутбуком? Мощность, потребляемая экраном, прямо пропорциональна яркости экрана. Ответ выразите в часах и при необходимости округлите до трёх знаков после запятой.

Точки $K$, $M$, $P$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$.

Про числа $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что \[ a^2+7b^2=14,\quad bc-ad=7,\quad ac+7bd=\sqrt{210}. \] Найдите наибольшее значение выражения $c^2+7d^2$.