Поиск задач

Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x=(4a-2)^2$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^4}$ являются целыми.

Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt5$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD=BC$), описанная около окружности и такая, что $AB=6$, $\angle BAD=\frac{\pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.

График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c\lt 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a$, $b$, $c$, если площадь треугольника $AMN$ равна $1$.

Сторона ромба $ABCD$ равна $6$. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно $8$. Найти радиусы этих окружностей.

Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \log_2\left(x^2y+2xy^2\right)-\log_{\frac12}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=4,\\ \log_5\left|\dfrac{xy}{6}\right|=0. \end{cases} \]

Решить неравенство \[ \sqrt[4]{\dfrac{5+3\cos4x}{8}}\gt -\sin x. \]