Поиск задач

Имеется двести шариков ста цветов, по два шарика каждого цвета. Фокусник разложил их произвольным образом в сто коробочек, по два шарика в коробочку, где что лежит — игрок не знает. За ход игрок указывает на любые две коробочки, после чего фокусник незаметно для игрока выбирает по шарику из этих коробочек и меняет их местами. Если в какой-то момент в каждой коробочке будут лежать разноцветные шарики, ведущий выдаёт игроку приз. Может ли игрок действовать так, чтобы гарантированно получить приз, как бы фокусник ни менял шарики?

Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=CE$. На отрезках $AB$, $AC$, $AE$ и $AD$ выбраны точки $L$, $K$, $P$ и $Q$ (все ранее названные точки различны) соответственно так, что \[\angle EAD=\angle PDE=\angle QED=\angle AKP=\angle ALQ.\] Докажите, что $LK+DE\leqslant AD+AE$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX=XD$ и $CY=YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$.

Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Дано натуральное $n\geqslant 2$. Симметрический многочлен $P(x_1,\ldots,x_n)$ таков, что уравнение $P(x_1,\ldots,x_n)=0$ имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного единственного набора $a_1,\ldots,a_n$. Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого $n\geqslant 2$ найдите наименьшую возможную степень многочлена $P$.