Поиск задач

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более $7\%$ жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением, что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

а) В футбольном турнире участвовало 75 команд. Каждая команда играла с каждой один раз, за победу в матче команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Известно, что любые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.
б) Тот же вопрос для $n$ команд.

Рациональные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что все числа $x+y^2+z^2$, $x^2+y+z^2$ и $x^2+y^2+z$ целые. Верно ли, что число $2x$ целое?

Дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ касается вписанной в него окружности. Обозначим через $l_a$, $l_b$, $l_c$ прямые, симметричные $l$ относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику $ABC$.

В параллелограмме $ABCD$ опустили перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. На отрезке $BH$ отметили точку $M$, равноудалённую от точек $C$ и $D$. Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Докажите, что угол $MKD$ прямой.