Поиск задач

Империя Горных гномов состоит из $2023$ королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие $1012$ королевств, которые производят не менее $50\%$ золота и не менее $50\%$ алмазов (от общего производства в империи)?

В шахматном кружке провели турнир — каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?

На цветочном рынке Маша купила $156$ хризантем, $312$ тюльпанов и $390$ роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)

Сколько существует различных квадратных трехчленов \[ f(x)=x^2+px+q \] с целыми коэффициентами $p$, $q$, для которых выполнены два условия:
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.

В выпуклом $2024$-угольнике длины всех диагоналей не превосходят $1$. Какое наибольшее количество сторон длины $1$ может быть в этом $2024$-угольнике?
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга $AB$ длиной $l$ перпендикулярна полу и может ездить от точки $a$ до точки $b$ (расстояние между $a$ и $b$ равно $2l$). Вторая часть конечности, штанга $BC$ длиной $2l$, свободно поворачивается относительно шарнира $B$. По штанге $BC$ ползает красящая насадка $K$.
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?