Поиск задач

В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?

У Пети есть 10 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число. Все числа на карточках попарно различны, а наибольшее из них равно $N$. Оказалось, что среднее арифметическое чисел на карточках равно 15. Какое наименьшее значение может принимать $N$?

За круглым столом сидят 15 волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого 5 волшебников сказали: «Теперь у меня нет волшебной палочки», а остальные 10 волшебников сказали: «У меня по-прежнему ровно одна волшебная палочка». Какое наибольшее число волшебников могло сказать правду?

Сумма двух четырёхзначных чисел, не оканчивающихся на ноль, равна $3\,997$. Вася записывает оба данных числа в обратном порядке (например, если дано $3\,811$, то Вася запишет $1\,183$). Какова наибольшая возможная сумма чисел, записанных Васей?

Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ \sqrt{3-\dfrac{a^2}{25}}\,\sin x+\dfrac{a}{10}\cos x=\sqrt{2} \] имеет хотя бы одно решение.

На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $Q$ ($P$ лежит между $A$ и $Q$) такие, что $AP^2+BQ^2=PQ^2=\sqrt{578}$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника $CPQ$ окружности.

Точка $K$ расположена вне окружности $\Omega$ с центром $O$, точка $M$ — внутри $\Omega$, а точка $P$ — на $\Omega$. Отрезок $KM$ пересекает $\Omega$ в точке $L$, а прямая $KP$ касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что $OM=2$, $LM=5$, $KL=9$, $KP=12$.

В треугольной пирамиде $ABCD$ углы $ACB$, $BCD$ и $ACD$ прямые. На рёбрах $CD$, $AC$ и $BD$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, причём \[ \dfrac{DP}{DC}=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{1}{3},\quad \dfrac{DR}{DB}=\dfrac{1}{2}. \] Найдите площадь сечения пирамиды $ABCD$ плоскостью $PQR$, если известно, что $AC=3$, $BC=4$, а угол между плоскостью $PQR$ и прямой $CD$ равен $\dfrac{\pi}{6}$.

В магазине 5 килограммов моркови стоят столько же, сколько 4 килограмма свёклы и 1 килограмм картофеля. Известно, что если купить по 6 килограммов самого дорогого и самого дешёвого из этих овощей и добавить к этой покупке 2 килограмма моркови и 3 килограмма картофеля, то стоимость этого набора овощей будет равна стоимости 19 килограммов моркови. Определите стоимость килограмма картофеля, если известно, что килограмм самого дорогого из овощей стоит на 10 рублей больше килограмма самого дешёвого.

Пусть $S_k$ обозначает сумму первых $k$ членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях $n$ справедливо соотношение \[ S_{3n}-S_n=12n^2+n. \] Найдите восьмой член прогрессии.