Поиск задач

Ваня в вершинах квадрата записал четыре натуральных числа, затем он возле каждой стороны записал произведение чисел в её концах. Проходящей мимо Ксюше Ваня сообщил, что сумма этих произведений равна 143. Ксюша, не смотря на рисунок Вани, немного подумала и назвала сумму чисел в вершинах, с чем Ваня согласился. Какое число назвала Ксюша? Дать обоснованный ответ.

а) Имеют ли общие члены две последовательности: $3;\ 16;\ 29;\ 42;\ \ldots$ и $2;\ 19;\ 36;\ 53;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
б) Имеют ли общие члены две последовательности: $5;\ 16;\ 27;\ 38\ \ldots$ и $8;\ 19;\ 30;\ 41;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у арифметических прогрессий $1;\ \ldots;\ 1000$ и $9;\ \ldots;\ 999$ если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет только одно решение \[ \left|x-a^5+a\right|+|x+a+32|=a^3+a^2-a+2. \]

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. Найдите площадь треугольника $AOB$, если известно, что $AB=13$, $BC=10$, $CD=15$, $DA=24$.

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $AF=AC$ и $BE=BC$. Найдите угол $ECF$.

Решите уравнение \[ \left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x+3\right)\left(x^2+3x+4\right)\left(x^2+3x+5\right)=15. \]

Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было 1000 рублей, а у Димы — 2000 рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за 1800 рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это.

Решите неравенство \[ \sqrt{x}\left(\dfrac{-x^2+81+(x-9)\sqrt{x^2+6x-27}}{9-x^2+(x+3)\sqrt{x^2+6x-27}}\right)\sqrt{\dfrac{x-3}{x+9}}\geqslant\dfrac{1}{\sqrt{x}}. \]