Поиск задач

На столе лежат 130 различных карточек с числами $502, 504, 506, \ldots, 758, 760$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?

Окружность, центр которой лежит на прямой $y=b$, пересекает параболу $y=\frac34x^2$ хотя бы в трёх точках; одна из этих точек — начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой $y=\frac34x+b$. Найдите все значения $b$, при которых описанная конфигурация возможна.

Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются внешним образом в точке $F$, а их общая внешняя касательная касается окружностей $\Omega$ и $\omega$ соответственно в точках $A$ и $B$. Прямая $\ell$ проходит через точку $B$, вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $C$, а также пересекает $\Omega$ в точках $D$ и $E$ (точка $D$ расположена между $C$ и $E$). Общая касательная окружностей, проходящая через точку $F$, пересекает прямые $AB$ и $BE$ в точках $P$ и $H$ соответственно (точка $F$ лежит между точками $P$ и $H$). Известно, что $BC=42$, $DH=HC=4$. Найдите длину отрезка $HP$ и радиусы обеих окружностей.

Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax+2$, $f_2(x)=x^2+3x+b$, $f_3(x)=3x^2+(3-2a)x+4+b$ и $f_4(x)=3x^2+(6-a)x+2+2b$. Пусть разности их корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$, при этом $|A| e|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.

Решите неравенство \[ \left(\log_{\frac32x^2-\frac43x+\frac56}\left(1+4x^2\right)\cdot\log_{\frac32x^2-\frac43x+\frac56}\left(1-4x^2\right)+1\right)\log_{1-16x^4}\left(\frac{3x^2}{2}-\frac43x+\frac56\right)\geqslant 1. \]

На рёбрах $AC$, $BC$, $BS$, $AS$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ выбраны точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Известно, что точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, причём $KL=MN=2$, $KN=LM=18$. В четырёхугольнике $KLMN$ расположены две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$, причём окружность $\Omega_1$ касается сторон $KN$, $KL$ и $LM$, а окружность $\Omega_2$ касается сторон $KN$, $LM$ и $MN$. Прямые круговые конусы $\mathcal F_1$ и $\mathcal F_2$ с основаниями $\Omega_1$ и $\Omega_2$ соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина $P$ конуса $\mathcal F_1$ лежит на ребре $AB$, а вершина $Q$ конуса $\mathcal F_2$ лежит на ребре $CS$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.

Известно, что \[ \frac{\cos x-\sin x}{\sin y}=\frac{1}{3\sqrt2}\operatorname{ctg}\frac{x+y}{2}\quad\text{и}\quad\frac{\sin x+\cos x}{\cos y}=-6\sqrt2\operatorname{tg}\frac{x+y}{2}. \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}(x+y)$, если известно, что их не менее трёх.