Олимпиада «Физтех»

Сколько существует натуральных чисел $N$ со следующим свойством: если к числу $N$ справа приписать число 6125, то полученное число будет делиться на исходное число $N$?

В параболу $y=2x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?

Рассматриваются всевозможные пятизначные числа, в которых цифры $9$, $7$, $3$, $1$, $0$ используются ровно по одному разу. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Ответ округлите до целого.

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно 5, 7 и 6.

Равнобокая трапеция $ABCD$ вписана в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, $K$ — точка на окружности такая, что прямая $MK$ параллельна основаниям трапеции $AD$ и $BC$. Найдите радиус окружности $\Omega$, если $BC=13$, $AD=17$, $MK=4$. В ответ запишите квадрат радиуса.

При каком значении параметра $c$ найдётся такой угол $\alpha$, что числа $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются корнями квадратного уравнения $8x^2+6x+c=0$?

В сумме $32+33+34+\ldots+100$ нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна 4455. Сколькими способами это можно сделать?

Про функцию $f(x)$ и некоторое положительное число $c$ известно, что \[ f(x+c)=\dfrac{\sqrt3 f(x)+1}{\sqrt3-f(x)} \] при всех значениях $x$. При каком наименьшем целом значении $k$ из интервала $(25;50)$ можно утверждать, что $f(x+kc)=f(x)$ при всех $x$?

В клубе собрались 13 путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые 6 путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих 6 путешественников), а любые 5 — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих 5 путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?

В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из 32 вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причём он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?